Il carroponte
Presentazione del problema
Il progetto consiste nella progettazione e nella simulazione del sistema di controllo di un carro ponte a 5 gradi di libertà.
Il carro ponte è costituito da una struttura portante fissa sulla quale scorre un ponte mobile; sopra il ponte scorre un carrello che trasporta il sistema di avvolgimento della fune di carico.
Il sistema di controllo deve permettere di:
- Avviare e Spegnere in sicurezza l’impianto.
- Prelevare un carico di peso incognito da una locazione specificata.
- Sollevare il carico e spostarlo in un altra locazione specificata.
Carroponte - Panoramica della struttura fisica
Il sistema in questione è schematizzato nella figura seguente.
Figura 3 Schema del sistema Carro Ponte
Il sistema è composto da una struttura rigida, un ponte mobile, un carrello, il gancio ed il carico.
La struttura: in colore nero, rigida, è alta 18 metri, larga 10 metri e lunga 10 metri, questa è la corsa sia del ponte mobile che del carrello.
Il ponte mobile: Bridge, in colore rosso, è libero di scorrere lungo l’asse X definito dalla terna in figura e può assumere posizioni comprese tra le coordinate +5 e -5 metri; superare tali limiti comporta il danneggiamento del ponte e della struttura rigida.
Il Bridge ha massa mB ed è spinto dalla forza fX che è generata da un motore a questo solidale.
Il carrello: Trolley, in colore blu, è libero di scorrere lungo l’asse Y definito dalla terna in figura e può assumere posizioni comprese tra le coordinate +5 e -5 metri; superare tali limiti comporta il danneggiamento del trolley e del bridge.
Il Trolley ha massa mT ed è spinto dalla forza fY che è generata da un motore a questo solidale.
Il sistema di avvolgimento, solidale al trolley, permette di sollevare ed abbassare il carico di massa mL. Il cavo e’ soggetto ad una tensione F che dipende dalla massa del carico e, in condizioni dinamiche, dalle forze di inerzia.
Il motore di avvolgimento del cavo dispone di un sistema di freno che può essere azionato solo quando la velocità di scorrimento del cavo è inferiore ad una determinata soglia (0.01 m/s); un segnale in feedback segnala l’avvenuto inserimento del freno. La tensione del cavo può essere misurata attraverso una cella di carico posta sul gancio (colore giallo).
Nessun sensore per la misura diretta della lunghezza del cavo è disponibile. E’ possibile tuttavia utilizzare l’output di un encoder incrementale (dotato di contatore e segnale di reset) montato sull’asse lento del motore di avvolgimento del cavo e quello di uno switch di fine corsa, posizionato a 15 cm dalla sommità del trolley, per calcolare la lunghezza del cavo.
La posizione del carico: Load, in colore verde, è completamente identificata dalla posizione del Bridge e del Trolley, dalla lunghezza del cavo e dai due angoli φ e θ che rappresentano l’angolo con la verticale e l’angolo sul piano rispettivamente del cavo, ovvero del vettore congiungente il Trolley e il Load. Alternativamente la posizione del carico è univocamente identificata dalle proprie coordinate espresse nella terna inerziale. Sul carico agiscono due forze di disturbo dx e dy (allineate lungo i rispettivi assi) che modellano probabili disturbi ambientali.
Carroponte - il modello matematico del sistema
Le equazioni dinamiche del sistema, trascurando ogni moto rotazionale, possono essere scritte in maniera semplice sfruttando la prima equazione della meccanica. Il sistema di equazioni seguente rappresenta la dinamica utilizzata all’interno del simulatore:
dove (XT, YT) è la posizione del trolley (XT del Bridge e YT del Trolley relativamente al Bridge) nelle coordinate della terna inerziale disegnata in figura e (XL, YL , ZL) è la posizione del carico nelle coordinate della terna inerziale.
La posizione del carico nella terna inerziale è legata alla lunghezza del cavo L ed agli angoli φ e θ attraverso le relazioni:
Dove la trasformazione
tiene conto della particolare scelta per l’orientamento dell’angolo θ. Derivando due volte la relazione
e sostituendo in
è possibile ricavare l’espressione non lineare della tensione del cavo F.
Sia che il carico sia presente oppure no, le coordinate (XL, YL , ZL) rappresentano la posizione nello spazio del gancio di carico, punto nel quale si considera concentrata la massa mL ; tale ipotesi appare valida se si trascura la dinamica rotazionale del carico. La massa mL rappresenterà quindi la massa del solo gancio o la somma delle masse di gancio e carico a seconda della situazione.